trigonometria 10

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ANGULOS

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.¹ Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

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EJEMPLOS

El ángulo viene limitado por un vértice y dos lados.

La recta que partiendo del vértice del ángulo lo divide en 2 partes iguales se llama bisectriz:

La amplitud de los ángulos se mide en grados, y puede ir desde 0º a 360º

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EJERCICIOS

Ejercicio 1)

calcular:

jercicio 2)

bisectriz del

, calcular

Ejercicio 3)

encuentre la medida de

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Sistema De Medición De Ángulos

Sistema De Medición De Ángulos

Si la rotación del lado terminal es en sentido contrario al de las agujas del reloj, la
medida del ángulo será positiva, en caso contrario la medida será negativa.
El sistema sexagesimal, cuya unidad es el grado: º
Y el sistema radial cuya unidad es el radián: rad

DEFINICIÓN:

Un grado sexagesimal es la medida del ángulo, con
vértice en el centro de un círculo, de amplitud igual
a la 360 ava parte del mismo.
Si el lado terminal realiza una
rotación completa, en el sentido
contrario de las agujas del reloj, el
ángulo generado mide 360º.

DEFINICIÓN:

Un radián es la medida del ángulo con vértice en el
centro de un círculo de radio r, cuyos lados
determinan sobre la circunferencia un arco AB de
longitud igual al radio

Si el lado lt realiza una
rotación completa en
sentido positivo, el ángulo
generado mide 2p radianes

Recuerda que, el cociente entre la longitud
de una circunferencia y la medida de su
diámetro no depende de la circunferencia
con la que se trabaje. El cociente es
constante.
Ese número es el número p !!
Por lo tanto: p
2longitud radio
longitud circunferencia

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EJEMPLOS

EJERCICIOS

Dibuja en un mismo sistema de ejes en forma exacta un ángulo de

45º y uno de 405º¿qué observación puedes hacer?

Llamaremos ángulos coterminales a aquellos que, en posición normal, tienen lados

terminales coincidentes.

1- ¿Cuántos grados mide, aproximadamente, un ángulo de 1 radián?

2- Convierte a grados la medida del ángulo que en el sistema radial mide p 7/6

3- Convierte a radianes el ángulo que en el sistema sexagesimal mide 20º

Rtas: 1- 57º

2- 210º

3-ñ / 9 radianes

LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA

A partir de la definición de la medida de un ángulo en radianes, vimos que ar =

long AB

por lo tanto long AB = r ar.

OBSERVACIÓN

Esta fórmula es válida sólo si a está

medido en radianes!

1- Determina la longitud del arco generado por un ángulo de 2 radianes

en una circunferencia de radio r = 4cm.

2- Idem si el ángulo mide 45º y la circunferencia es de radio r = 2cm.

3- Determina la medida del ángulo correspondiente a un arco de 6,9 cm

de longitud subtendido en una circunferencia de radio r = 3 cm.

4- Una milla marítima se define como la longitud del arco subtendido en

la superficie de la Tierra por un ángulo que mide 1 minuto. El

diámetro de la Tierra es aproximadamente 7.927 millas (terrestres).

Determina la cantidad de millas (terrestres) que hay en una milla

marítima.

RECUERDA

Longitud de la circunferencia = p . diámetro Superficie lateral de la esfera =

= p .(diámetro )

Área del círculo = p . (radio )

Volumen de la esfera =

= 4 / 3 . p .(radio)

p = 3.141 592 653 5...

Razones Trigonométricas

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo gráfica

Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.

Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.

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Ejercicios:

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TALLER:

http://www.vitutor.com/al/trigo/triActividades.html

Graficas

GRAFICAS:

Gráfico o gráfica son las denominaciones de la representación de datos, generalmente numéricos, mediante recursos gráficos (líneas, vectores, superficies o s ímbolos), para que se manifieste visualmente la relación matemática o correlación estadística que guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, sino mediante la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental).

Resulta de gran utilidad conocer el gráfico de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Iniciemos por las funciones seno y coseno cuyo periodo es , es decir, dado un ángulo cada .

En el gráfico mostrado tenemos solo un solo periodo, en el siguiente gráfico tenemos la misma función seno pero como veremos es la misma función seno pero con mas periodos.

Nótese en el siguiente gráfico, que el codomio de la función seno esta definida en el intervalo , además vemos que existen dos líneas que no forman parte de la función pero que estamos utilizando para indicar que los puntos que intersecan dichas líneas tienen el mismo valor.

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Ejemplos

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Función - Seno - Coseno - Tangente - Cotangente - Secante - Cosecante

Función - Seno - Coseno - Tangente - Cotangente - Secante - Cosecante

Funsion Del Seno:

En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

$\sen\ \alpha=\frac{a}{c}$

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

$\sen\ \alpha=a \,$

En matemáticas el seno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes. La abreviatura $\sin(\cdot)$ proviene del latín sĭnus.

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Ejemplos:

${\rm sen}\ z=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

$\sen x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\sen x = \sum^{\infin}_{n=0} \; (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

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TALLER:

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Función De Coseno:

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa:

$\cos\alpha = \frac{b}{c}$

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo $\alpha.$

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real $x$ con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, $x$ . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es

$\begin{array}{rl} \cos x = & 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots \\ \\ = & \sum_{n=0}^\infty \; (-1)^n \; \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{array}$

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Ejemplos:

$\forall\ \theta,\phi\in\mathbb{R}$

Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:

$\begin{cases} \vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta \right)\\ \vec{v}\cdot\vec{u}=x_vx_u+y_vy_u\\ \end{cases}$

Por igualación se define que

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta\right)=x_vx_u+y_vy_u$

Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir

$x_v=|\vec{v}|\cos\phi$

$y_v=|\vec{v}|\sin\phi$

Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}|\cos\phi|\vec{u}|\cos\theta+|\vec{v}|\sin\phi|\vec{u}|\sin\theta$

Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos \left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}||\vec{u}|(\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta)$

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TALLER:

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Función Tangente:

En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

O también como la relación entre el seno y el coseno:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha) }{\cos(\alpha) } \,$

Definición de tangente de un ángulo agudo:

Sea A un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. La tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto BC y el adyacente AB.

La tangente en la circunferencia goniométrica.

Se llama circunferencia goniométrica a la que tiene su centro en el origen de coordenadas y de radio uno.

Cualquier punto de la circunferencia dista 1 del origen, por lo tanto, si representamos el ángulo con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OXpositivo, el valor de la tangente coincide con la ordenada del punto cuya abcisa vale uno (ya que, entonces, el denominador vale 1).

Observa que el segmento que obtenemos es tangente a la circunferencia goniométrica.

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Ejemplos:

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.

Dados los ángulos $\phi,\theta\$ :

$\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{\sen(\phi+\theta)}{\cos(\phi+\theta)}$

Reemplazando por las identidades antes mencionadas:

$\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{ \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta - \sen \phi \sen \theta }$

Dividiendo al numerador y al denominador por $\cos\phi\cos\theta\,$ :

$\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta-\sen\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }$

Separando la suma y la resta:

$\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } + \cfrac{ \cos\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } - \cfrac{ \sin\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }$

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TALLER:
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Función Del Cotangente

La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón trigonométrica inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:Dom f=R-,

Ran f= R

Periodo: π.

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$

para ver mas explicación clic aquí

Ejemplos
La función cotangente asocia a cada número real, x, el valor de la cotangente del ángulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = cotx

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Función Del Secante

El Secante, (abreviado como sec), es la razón trigonométrica inversa del coseno, o también su inverso multiplicativo:

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{c}{b}$

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Ejemplos

Partiendo de la definición de secante como la inversa del coseno:

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$

Función cosecante

La Cosecante (abreviado como csc o cosec) es la razón trigonométrica inversa del seno, o también su inverso multiplicativo:

$\csc \alpha = \frac{1}{\operatorname {sen} \alpha} = \frac{c}{a}$

clic aqui para ver mas explicacion

Ejemplos

Partiendo de la definición de cosecante como la inversa del seno:

$\csc \alpha = \frac{1}{\operatorname {sen} \alpha}$

Y conociendo la función seno previamente, podemos ver que para los valores en los que el seno vale cero, la cosecante se hace infinito, si la función seno tiende a cero desde valores negativos la cosecante tiende a: $- \infty$ .

$\lim_{\alpha \to 0^-}\operatorname {sen}(\alpha) = 0^-$

$\lim_{\alpha \to 0^-} \csc (\alpha) = \cfrac {1} {\lim_{\alpha \to 0^-}\operatorname {sen}(\alpha)} = \cfrac{1}{0^-} = - \infty$

mientras que cuando el seno tiende a cero desde valores positivos la cosecante tiende a: $+ \infty$ .

$\lim_{\alpha \to 0^+}\operatorname {sen}(\alpha) = 0^+$

$\lim_{\alpha \to 0^+}\csc (\alpha) = \cfrac {1} {\lim_{\alpha \to 0^+}\operatorname {sen}(\alpha)} = \cfrac{1}{0^+} = + \infty$

Cuando el seno del ángulo vale uno, su cosecante también vale uno, como se puede ver en la gráfica.

trigonometria 10

miércoles, 31 de octubre de 2012

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