trigonometria 10: Todas Las Identidades Trigonometricas

Todas Las Identidades Trigonometricas

**Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.**
En términos de	$\sen\!$	$\cos\!$	$\tan\!$	$\cot\!$	$\sec\!$	$\csc\!$
$\sen \theta$	$\operatorname{sen} \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\csc \theta}$
$\cos \theta$	$\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
$\tan \theta$	$\frac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\cot \theta$	${\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} \over \operatorname{sen} \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	${1 \over \tan\theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
$\sec \theta$	${1 \over \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$	$\sec\theta\$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\csc \theta$	${1 \over \operatorname{sen} \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\tan{x} = \frac {\operatorname{sen}{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\operatorname{sen}{x}}$

$\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\operatorname{sen}{x}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

$\operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

$\operatorname{sen}(-x) = \operatorname{sen}(x+\pi) \qquad \cos(-x) = -\cos(x+ \pi)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x)$

$\operatorname{sen}(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

$a\operatorname{sen}(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\operatorname{sen}\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)$

$\operatorname{sen}^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

$\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)$