trigonometria 10: Función - Seno - Coseno - Tangente - Cotangente - Secante

Función - Seno - Coseno - Tangente - Cotangente - Secante - Cosecante

Funsion Del Seno:

En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

$\sen\ \alpha=\frac{a}{c}$

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

$\sen\ \alpha=a \,$

En matemáticas el seno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes. La abreviatura $\sin(\cdot)$ proviene del latín sĭnus.

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Ejemplos:

${\rm sen}\ z=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

$\sen x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\sen x = \sum^{\infin}_{n=0} \; (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

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Función De Coseno:

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa:

$\cos\alpha = \frac{b}{c}$

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo $\alpha.$

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real $x$ con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, $x$ . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es

$\begin{array}{rl} \cos x = & 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots \\ \\ = & \sum_{n=0}^\infty \; (-1)^n \; \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{array}$

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Ejemplos:

$\forall\ \theta,\phi\in\mathbb{R}$

Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:

$\begin{cases} \vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta \right)\\ \vec{v}\cdot\vec{u}=x_vx_u+y_vy_u\\ \end{cases}$

Por igualación se define que

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta\right)=x_vx_u+y_vy_u$

Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir

$x_v=|\vec{v}|\cos\phi$

$y_v=|\vec{v}|\sin\phi$

Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}|\cos\phi|\vec{u}|\cos\theta+|\vec{v}|\sin\phi|\vec{u}|\sin\theta$

Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos \left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}||\vec{u}|(\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta)$

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Función Tangente:

En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

O también como la relación entre el seno y el coseno:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha) }{\cos(\alpha) } \,$

Definición de tangente de un ángulo agudo:

Sea A un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. La tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto BC y el adyacente AB.

La tangente en la circunferencia goniométrica.

Se llama circunferencia goniométrica a la que tiene su centro en el origen de coordenadas y de radio uno.

Cualquier punto de la circunferencia dista 1 del origen, por lo tanto, si representamos el ángulo con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OXpositivo, el valor de la tangente coincide con la ordenada del punto cuya abcisa vale uno (ya que, entonces, el denominador vale 1).

Observa que el segmento que obtenemos es tangente a la circunferencia goniométrica.

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Ejemplos:

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.

Dados los ángulos $\phi,\theta\$ :

$\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{\sen(\phi+\theta)}{\cos(\phi+\theta)}$

Reemplazando por las identidades antes mencionadas:

$\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{ \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta - \sen \phi \sen \theta }$

Dividiendo al numerador y al denominador por $\cos\phi\cos\theta\,$ :

$\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta }{ \cos \phi \cos \theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta-\sen\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }$

Separando la suma y la resta:

$\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sen\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } + \cfrac{ \cos\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } - \cfrac{ \sin\phi\sen\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }$

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Función Del Cotangente

La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón trigonométrica inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:Dom f=R-,

Ran f= R

Periodo: π.

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$

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Ejemplos
La función cotangente asocia a cada número real, x, el valor de la cotangente del ángulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = cotx

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Función Del Secante

El Secante, (abreviado como sec), es la razón trigonométrica inversa del coseno, o también su inverso multiplicativo:

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{c}{b}$

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Ejemplos

Partiendo de la definición de secante como la inversa del coseno:

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$

Función cosecante

La Cosecante (abreviado como csc o cosec) es la razón trigonométrica inversa del seno, o también su inverso multiplicativo:

$\csc \alpha = \frac{1}{\operatorname {sen} \alpha} = \frac{c}{a}$

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Ejemplos

Partiendo de la definición de cosecante como la inversa del seno:

$\csc \alpha = \frac{1}{\operatorname {sen} \alpha}$

Y conociendo la función seno previamente, podemos ver que para los valores en los que el seno vale cero, la cosecante se hace infinito, si la función seno tiende a cero desde valores negativos la cosecante tiende a: $- \infty$ .